On note \(P\) l’ensemble des fonctions réelles \(f\) polynomiales par morceaux, continues sur \([0,1]\) et vérifiant \({f(0)=f(1)=0}\). Si \(f\) et \(g\) sont des fonctions de \(P\), on note \((f|g) = \int _{t=0}^1 f'(t)g'(t)\,d t\).

  1. Que dire de \(P\) muni de cette application ?

  2. Montrer que si \(x\in [0,1]\), il existe \(g_x\in P\) telle que \(\forall f\in P\), \((g_x|f) = f(x)\).

  3. On considère \(n\) réels vérifiant : \(0<x_{1}<x_{2}<\dots<x_n<1\) et on donne \(n\) réels \((\alpha _i)_{i\in {\textlbrackdbl 1,n\textlbrackdbl }}\). On pose \(\varphi (f) = \left\|f\right\|^2 + \sum_{i=1}^n (f(x_i)-\alpha _i)^2\) et on demande de trouver le minimum de \(\varphi\) sur \(P\).


Barre utilisateur

[ID: 4251] [Date de publication: 21 mars 2024 16:59] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Cachan MP\(^*\) 2000
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:59
  1. Que c’est un espace préhilbertien.

  2. \(g_x(t) = \min(t(1-x),x(1-t))\)

  3. On note \(g_i = g_{x_i}\) : \((g_{1},\dots,g_n)\) est libre par considération des points anguleux, donc engendre un ev \(G\) de dimension \(n\). Soit \(f\in P\) : \(f = f_{0} +f_{1}\) avec \(f_{0} \in G\) et \(f_{1}\in G^\perp\). Alors \(\varphi (f) = \varphi (f_{0} ) + \left\|f_{1}\right\|^2\) donc \(\varphi\) est minimale en \(f\) ssi \(\varphi _{|G}\) est minimale en \(f_{0}\) et \(f_{1}=0\). Désormais on suppose \(f_{1}=0\) et \(f\in G\).

    L’application : \[u : G \rightarrow \mathbb{R}^n , f \mapsto (f(x_{1}),\dots,f(x_n)) = ((f| g_{1}),\dots,(f| g_n))\] est un isomorphisme linéaire. Soit \(v\) l’endormophisme autoadjoint défini positif de \(\mathbb{R}^n\) (pour le produit scalaire canonique) tel que : \(\forall t\in \mathbb{R}^n\), \((t|v(t)) = \left\|u^{-1}(t)\right\|^2\).

    On a donc en notant \(\alpha = (\alpha _{1},\dots,\alpha _n)\) et \(\beta = (\mathop{\rm id}\nolimits+v)^{-1}(\alpha )\) : \[\begin{aligned} \forall t\in \mathbb{R}^n ,\ \varphi (u^{-1}(t)) &= (t| v(t)) + (t-\alpha | t-\alpha )\\ &= (t|(\mathop{\rm id}\nolimits+v)(t)) - 2(t| \alpha ) + (\alpha |\alpha )\\ &= (t-\beta |(\mathop{\rm id}\nolimits+v)(t-\beta )) + (\alpha |\alpha -\beta ). \end{aligned}\] \(\mathop{\rm id}\nolimits+v\) est autoadjoint défini positif donc le minimum de \(\varphi\) est atteint pour \(f=u^{-1}(\beta )\) (solution unique) et vaut \((\alpha |\alpha -\beta )\).


Documents à télécharger