Soit \(E\) un espace euclidien et \(s\) une symétrie de \(E\).

  1. Que dire de \(s^*\circ s\) ?

  2. Un polynôme \(P\) est dit réciproque si \(P(X) = X^n P(1/X)\), pour \(P\) de degré \(n\).

    Montrer que : \(P(X) = \det(X\mathop{\rm id}\nolimits+s^*\circ s)\) est un polynôme réciproque.

  3. Montrer que \(P(1)\geq 2^n\). A quelle condition y a-til égalité ? Y a-t-il des conditions sur \(s\) ?

  4. Soit la matrice \(A = \begin{pmatrix}A_{1}&A_{2}\\ A_3&A_4\end{pmatrix}\), carrée, d’ordre \(n\), symétrique définie positive, où \(A_{1}\) et \(A_4\) sont carrées d’ordres respectifs \(p\) et \(q\). Montrer que \(\det(A)\leq \det(A_{1})\det(A_4)\).


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[ID: 4249] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Polytechnique MP\(^*\) 2000
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:58
  1. c’est un endomorphisme autoadjoint positif de déterminant \(1\).

  2. \(X^n \det(\mathop{\rm id}\nolimits/X+s^*\circ s) = \det(\mathop{\rm id}\nolimits+Xs^*\circ s) =\det(s^*\circ (\mathop{\rm id}\nolimits+Xs^*\circ s)\circ s) = \det(s^*\circ s + X\mathop{\rm id}\nolimits)\).

  3. \(s^*\circ s\) est diagonalisable avec des valeurs propres \((\lambda _i)\) réelles positives deux à deux inverses pour la même multiplicité. \(P^2 (1) = \prod _{1\leq i\leq n}(1+\lambda _i)(1+1/\lambda _i)\) et \((1+x)(1+1/x)\geq 4\) pour tout \(x>0\) avec égalité ssi \(x=1\).

    Si \(P(1) = 2^n\) alors toutes les valeurs propres de \(s^*\circ s\) valent \(1\) et \(s^*\circ s\) est diagonalisable donc \(s^*\circ s = \mathop{\rm id}\nolimits\) et \(s\) est une symétrie orthogonale. La réciproque est immédiate.

  4. Se ramener au cas \(A_4=I\) puis calculer \(\det A\) par pivotage.


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