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[ID: 4247] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

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Série d’autoadjoints positifs
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:58

Soit \(K = \sup\{ \left\|u_{0} +\dots+u_n\right\|\}\) et \(x\in H\). On note \(v_{p,q} = \sum_{n=p}^q u_n\) pour \(p\leq q\). La série \(\sum (u_n(x)|x)\) est convergente (termes positifs, sommes partielles majorées) donc elle vérifie le critère de Cauchy : \((v_{p,q}(x)|x) \to _{p,q\to \infty }0\).

Comme \(v_{p,q}\) est positif, il vérifie l’inégalité de Cauchy-Schwarz : \[|(v_{p,q}(x)| y)|^2 \leq (v_{p,q}(x)|x)(v_{p,q}(y)|y) \leq 2K\left\|y\right\|^2 (v_{p,q}(x)|x).\] En particulier pour \(y=v_{p,q}(x)\) on obtient : \(\left\|v_{p,q}(x)\right\|^2 \leq 2K(v_{p,q}(x)|x)\) donc la série \(\sum u_n(x)\) est de Cauchy.

Rmq. exemple où \(\sum u_n\) ne converge pas dans \(\mathcal L _c(H)\) : \(H = l ^2 (\mathbb{N})\) et \(u_n =\) projection orthogonale sur \(〈e_n〉\) où \(e_n(p) = \delta _{n,p}\). \(\sum u_n\) converge simplement et non uniformément vers l’identité.