Soient \(E\) un espace euclidien, \(h \in \mathcal L (E)\) autoadjoint, \(x_{0} \in E\) unitaire, \(p\) la projection orthogonale sur \(\mathop{\rm vect}\nolimits(x_{0} )\), et \(f = h+p\). On note \(\lambda _{1}\leq \dots\leq \lambda _n\) les valeurs propres de \(h\) et \(\mu _{1}\leq \dots\leq \mu _n\) celles de \(f\).

Montrer que \(\lambda _{1} \leq \mu _{1} \leq \dots\leq \lambda _n \leq \mu _n\).


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[ID: 4241] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Comparaison de valeurs propres
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:58

Soit \((h_i)\) une base diagonale pour \(h\), \(H_i = \mathop{\rm vect}\nolimits\{ h_{1}, \dots, h_i\}\) et \((f_i)\), \(F_i\) idem pour \(f\).

Pour \(x \in F_k \cap H_{k-1}^\perp\), \(\lambda _k\left\|x\,\right\|^2 + (x|x_{0} )^2 \leq (h(x)|x) + (x|x_{0} )^2 = (f(x)|x) \leq \mu _k\left\|x\,\right\|^2\).

Pour \(x \in H_{k+1} \cap F_{k-1}^\perp \cap x_{0} ^\perp\), \(\mu _k\left\|x\,\right\|^2 \leq (f(x)|x) = (h(x)|x) \leq \lambda _{k+1}\left\|x\,\right\|^2\).


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