Soient \(E\) un espace euclidien, \(f \in \mathcal L (E)\) auto-adjoint et \(\lambda _{1} \leq \lambda _{2} \leq \dots\leq \lambda _n\) ses valeurs propres.

  1. Montrer : \(\forall x \in E\), \(\lambda _{1}\left\|x\right\|^2 \leq (f(x)|x) \leq \lambda _n \left\|x\right\|^2\).

  2. Montrer que si l’une de ces deux inégalités est une égalité pour un vecteur \(x\neq 0\), alors \(x\) est vecteur propre de \(f\).

  3. Soit \((e_{1},\dots,e_n)\) une base orthonormée de \(E\) telle que pour tout \(i\) : \((f(e_i)|e_i) = \lambda _i\). Montrer que : \(\forall i\), \(f(e_i) = \lambda _ie_i\).

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[ID: 4240] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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