Soient \(E\) un ev euclidien et \(u \in \mathcal L (E)\) auto-adjoint tel que \(\mathop{\rm tr}\nolimits(u) = 0\).

  1. Montrer qu’il existe un vecteur \(x\) non nul tel que \(u(x) \perp x\).

  2. En déduire qu’il existe une base orthonormée \((e_i)\) telle que : \(\forall i\), \((u(e_i)|e_i) = 0\).


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[ID: 4238] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(u\) autoadjoint et \(\mathop{\rm tr}\nolimits(u) = 0\)
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:58
  1. Soit \((u_{1},\dots,u_n)\) une base propre pour \(u\). On prend \(x=u_{1}+\dots+u_n\).

  2. On norme \(x\) et on le complète en une base orthonormée. La matrice de \(u\) dans cette base est symétrique, de trace nulle, et la diagonale commence par 0. On termine par récurrence.


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