Pour \(P,Q \in \mathbb{R}_n[X]\) on pose \((P|Q) = \int _{t=-1}^1 \sqrt {\frac{1-t}{1+t}}P(t)Q(t)\,d t\) et \(\Phi(P) = (X^2 -1)P'' + (2X+1)P'\).

  1. Vérifier que \((P|Q)\) existe et qu’on définit ainsi un produit scalaire sur \(\mathbb{R}_n[X]\).

  2. Montrer que pour ce produit scalaire, \(\Phi\) est auto-adjoint (calculer \(\int _{t=-1}^1 (1-t)^{3/2}(1+t)^{1/2}P''(t)Q(t)\,d t\) par parties).

  3. Déterminer les valeurs propres de \(\Phi\) et montrer qu’il existe une base propre de degrés étagés.

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[ID: 4233] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\((X^2 -1)P'' + (2X+1)P'\) 
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:58

  1. \(\lambda _k = k(k+1)\).

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\((X^2 -1)P'' + (2X+1)P'\) 
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