Soit \(E = \mathbb{R}_n[X]\). On pose pour \(P,Q \in E : (P|Q) = \int _{-1}^1 P(t)Q(t)\,d t\) et on considère \[u : E \rightarrow \mathbb{R}[X], P(X) \mapsto 2XP'(X) + (X^2 -1)P''(X).\]

  1. Montrer que l’on définit un produit scalaire et que \(u\) est un endomorphisme.

  2. Montrer que \(u\) est diagonalisable et que si \(P_k,P_l\) sont des vecteurs propres de valeurs propres distinctes, alors \((P_k|P_l ) = 0\).

  3. Éléments propres de \(u\) pour \(n=3\) ?

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[ID: 4231] [Date de publication: 21 mars 2024 16:58] [Catégorie(s): Endomorphismes autoadjoints ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(2XP'(X) + (X^2 -1)P''(X)\) 
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:58

  1. \(u\) est autoadjoint pour \((\ |\ )\).

  2. \(P_{0} = 1\), \(P_{2} = X\), \(P_6 = 3X^2 -1\), \(P_{12} = 5X^3 - 3X\).

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\(2XP'(X) + (X^2 -1)P''(X)\) 
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