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[ID: 4225] [Date de publication: 21 mars 2024 16:53] [Catégorie(s): Adjoint d'un endomorphisme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Mines PC 1996
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 16:53

1. Si \(f(x) + f^*(x) = 0\) alors \(f(x) \in \mathop{\rm Im}\nolimits f \cap \mathop{\rm Im}\nolimits f^* = \mathop{\rm Im}\nolimits f \cap (\mathop{\rm Ker}\nolimits f)^\perp = \mathop{\rm Im}\nolimits f \cap (\mathop{\rm Im}\nolimits f)^\perp\) donc \(f(x) = f^*(x) = 0\) et \(x \in \mathop{\rm Ker}\nolimits f \cap \mathop{\rm Ker}\nolimits f^* = \mathop{\rm Ker}\nolimits f \cap (\mathop{\rm Ker}\nolimits f)^\perp\).

2. \(f^2 = 0 \Rightarrow \mathop{\rm Im}\nolimits f \subset \mathop{\rm Ker}\nolimits f\).

   \(f+f^* \in GL(E) \Rightarrow \mathop{\rm Im}\nolimits f + \mathop{\rm Im}\nolimits f^* = \mathop{\rm Im}\nolimits f + (\mathop{\rm Ker}\nolimits f)^\perp = E \Rightarrow \dim \mathop{\rm Im}\nolimits f \geq \dim \mathop{\rm Ker}\nolimits f\).