1. Calculer \(D_n(x)=\sum_{k=1}^n\sin(kx)\) et \(\tilde D_n(x) = D_n(x) -\frac12\sin(nx)\), puis montrer que \(\tilde D_n(x)\geq 0\) pour \(x\in [0,\pi ]\).

  2. Montrer qu’il existe deux constantes \(c_{1}\) et \(c_{2}\) telles que \(\forall n\geq 2\), \(c_{1}\ln(n)\leq \int _{x=0}^\pi \tilde D_n(x)\,d x\leq c_{2}\ln(n)\).

  3. Soit \((b_n)\) une suite de réels positifs telle que \(\sum_{k=1}^\infty b_k\) converge. Montrer l’équivalence entre :

    (i) \(g(x)=\sum_{k=1}^\infty b_kD_k(x)\) est intégrable sur \([0,\pi ]\).

    (ii)i \(\tilde g(x)=\sum_{k=1}^\infty b_k\tilde D_k(x)\) est intégrable sur \([0,\pi ]\).

    (iii) \(\sum_{k=1}^\infty b_k\ln(k)\) converge.


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[ID: 4219] [Date de publication: 21 mars 2024 14:57] [Catégorie(s): Intégration terme à terme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Noyau de Dirichlet, X 2014
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:57
  1. \(D_n(x)=\dfrac{\sin(nx/2)\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}\), \(\tilde D_n(x)=\dfrac{\cos(x/2)(1-\cos(nx))}{2\sin(x/2)}\).

  2. \(\int _{x=0}^\pi \tilde D_n(x)\,d x=2\sum_{2k+1<n}1/k+(0\text{ ou }1)/n\) et on compare la série à \(\int d t/t\).

  3. (i)\(\Leftrightarrow\)(ii) par convergence normale de \(\sum b_k\sin(kx)\).

    (ii)\(\Leftrightarrow\)(iii) par intégration terme à terme, cas réel positif.


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