Soit \(f:\mathbb{R}^{+*}\to \mathbb{R}^{+*}\) telle que : \(\forall x,y>0\), \(f(xf(y))=yf(x)\) et \(f(x)\xrightarrow[x\rightarrow 0_{+} ]{}+\infty\).

  1. Montrer que \(f\) est involutive.

  2. Montrer que \(f\) conserve le produit. Que peut-on dire de la monotonie de \(f\), de sa continuité ?

  3. Trouver \(f\).


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[ID: 3514] [Date de publication: 12 mars 2024 10:02] [Catégorie(s): Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Centrale MP 2000
Par Michel Quercia Emmanuel Vieillard-Baron le 12 mars 2024 10:02
  1. Pour \(x=1\) on a \(f\circ f(y) = yf(1)\) donc \(f\) est injective et pour \(y=1\) : \(f(xf(1))=f(x)\) d’où \(f(1)=1\).

  2. \(f(xy) = f(xf(f(y))) = f(y)f(x)\).

    Pour \(0<x<1\) on a \(f(x^n ) = f(x)^n \xrightarrow[n\rightarrow \infty ]{}+\infty\) donc \(f(x)>1\) ce qui entraîne par morphisme la décroissance de \(f\). Enfin \(f\) est monotone et \(f(]0,+\infty [) = {]0,+\infty [}\) donc \(f\) n’a pas de saut et est continue.

  3. En tant que morphisme continu, \(f\) est de la forme \(x\mapsto x^\alpha\) avec \(\alpha \in \mathbb{R}\) et l’involutivité et la décroissance donnent \(\alpha =-1\).


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