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Racine d’une somme d’exponentielles
Soient \(0 < a_{1} < a_{2} < \dots< a_p\) des réels fixés.
Montrer que pour tout réel \(a > a_p\) il existe un unique réel \(x_a > 0\) solution de : \(a_{1}^x + \dots+ a_p^x = a^x\).
Pour \(a < b\), comparer \(x_a\) et \(x_b\).
Chercher \(\lim_{a\to +\infty } x_a\) puis \(\lim_{a\to +\infty } x_a\ln a\).
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[ID: 3466] [Date de publication: 12 mars 2024 09:54] [Catégorie(s): Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Racine d’une somme d’exponentielles
Par Michel Quercia le 12 mars 2024 09:54
Par Michel Quercia le 12 mars 2024 09:54
Étude de \(x\mapsto \left(\dfrac{a_{1}}a\right)^x + \dots+ \left(\dfrac{a_p}a\right)^x\).
\(x_a > x_b\).
\(x_a\to l\). Si \(l > 0\), \(a^{x_a} \to +\infty\), mais \(a_{1}^{x_a} + \dots+ a_p^{x_a} \to a_{1}^l + \dots+ a_p^l\). Donc \(l = 0\), et \(x_a\ln a \to \ln p\).
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