On pose \(f(x) = \exp(-1/x)\) si \(x > 0\) et \(f(0)=0\).

  1. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C ^\infty\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\), et que \(f^{(n)}(x)\) est de la forme \(P_n(x)x^{-2n}\exp(-1/x)\)\(P_n\) est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à \(n-1\) (\(n \geq 1\)).

  2. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C ^\infty\) en \(0_{+}\).

  3. Montrer que le polynôme \(P_n\) possède \(n-1\) racines dans \(\mathbb{R}^{+*}\).


Barre utilisateur

[ID: 3460] [Date de publication: 12 mars 2024 09:54] [Catégorie(s): Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Documents à télécharger

L'exercice