Étudier la fonction définie par \(f(x) = x\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}\).


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[ID: 312] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:25] [Catégorie(s): Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Bernhard Keller ]




Solution(s)

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Exercice 460
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:25
  1. Nous déduisons du tableau de signe

    que \(f\) est définie sur \(I=\left]-\infty,-1\right[\cup \left[1,+\infty\right[\).

  2. \(f\) est dérivable sur \(\left]-\infty,-1\right[\cup \left]1,+\infty\right[\) car la fonction racine carrée est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\). Soit \(x\) un élément de cet ensemble. On trouve : \[f'\left(x\right)=\dfrac{x^2+x-1}{\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}\left(x+1\right)^2}.\] \(f'\) est donc du signe de \(x^2+x-1\). Les racines de ce trinômes sont \(\alpha=\left(-1+\sqrt 5\right)/2\) et \(\beta=\left(-1-\sqrt 5\right)/2\). Seul \(\alpha\) est dans le domaine de définition de \(f\). Pour les limites, on remarque que : \[f\left(x\right)=x\sqrt{\dfrac{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}}\] et donc \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty}f\left(x\right)}=-\infty\), \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}f\left(x\right)}=+\infty\). Par limites usuelles, il est clair que \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -1^-}f\left(x\right)}=-\infty\). On en déduit de la tableau de variation suivant :

  3. Le graphe de \(f\) admet une branche infinie quand \(x\rightarrow \pm\infty\) et quand \(x\rightarrow -1^-\).

    • \[\dfrac{f\left(x\right)}{x}=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}=\sqrt{\dfrac{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}{1+{\scriptstyle 1 \over\scriptstyle x}}} \xrightarrow[x\rightarrow \pm \infty]{} 1\] et par multiplication par les quantités conjuguées, \[f\left(x\right)-x = x\left(\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}} -1\right) =x\dfrac{\dfrac{x-1}{x+1}-1 }{ \sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}} +1 }=\dfrac{\dfrac{-2x}{x+1} }{ \sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}} +1 }=\dfrac{\dfrac{-2}{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}} }{ \sqrt{\dfrac{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}} +1 }\xrightarrow[x\rightarrow \pm \infty]{} -1\]

      La droite d’équation \(\boxed{y=x-1}\) est donc asymptote à la courbe au voisinage de \(+\infty\) et \(-\infty\).

    • On a une asymptote verticale au voisinage de \(-1\) d’équation \(x=-1\).

  4. On en déduit le graphe de \(f\) :


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