Soit \(n\in \mathbb{N}^*\). Montrer que le nombre de chiffres nécessaires pour écrire \(n\) en base \(10\) est égale à la partie entière de \(1+\log n\).


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[ID: 310] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:25] [Catégorie(s): Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Bernhard Keller ]




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Exercice 127
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:25

Supposons que l’écriture de \(n\) en base 10 compte \(m+1\) chiffres \(a_m,\dots,a_0\in\llbracket 0,9\rrbracket\) avec \(a_m\neq 0\) et \(m\in\mathbb{N}\). On a alors : \(n=\sum_{k=0}^m a_k 10^k\) et \[\begin{aligned} \log n& =& \log\left(\sum_{k=0}^m a_k 10^k\right) \\ &=& \dfrac{\ln{10^m \left(a_m + a_{m-1}10^{-1}+ \dots+ a_0 10^{-m}\right)}}{\ln 10}\\ &=& m+\dfrac{\ln \left(a_m + a_{m-1}10^{-1}+ \dots+ a_0 10^{-m}\right) }{\ln 10}\end{aligned}\]

Mais \(1\leqslant a_m + a_{m-1}10^{-1}+ \dots+ a_0 10^{-m} \leqslant 10\) et \[0\leqslant\dfrac{\ln \left(a_m + a_{m-1}10^{-1}+ \dots+ a_0 10^{-m}\right) }{\ln 10}<1.\] Donc \(\boxed{E\left(1+\log n\right)=m+1}\) et le résultat est prouvé.


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