Soit un entier \(n > 1\). On considère l’équation \[x^{x^n} = n\]

  1. Montrer qu’il existe une unique solution à cette équation.

  2. Déterminer cette unique solution.


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[ID: 308] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:25] [Catégorie(s): Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Bernhard Keller ]




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Exercice 391
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:25
  1. Étudions à \(n\) fixé la fonction définie par \[f(x) = x^{x^n} - n = e^{x^n \ln x}\] Elle est définie sur \(]0, +\infty[\), dérivable sur cet intervalle et \(\forall x\in I\), \[f'(x) = x^{n-1}e^{x^n\ln x}\left[ n \ln x + 1\right]\] La dérivée s’annule en un seul point \(x_0 = e^{-1/n} < 1\). On en déduit en écrivant le tableau de variations de \(f\) que \(f\) présente un minimum en \(x_0\) avec \(f(x_0) = e^{-1/(en)} - n\). Par conséquent, puisque \(f(x) \xrightarrow[x\rightarrow 0^+ \rightarrow 1]{} - n < n\), et que \(f(x) \xrightarrow[x\rightarrow +\infty \rightarrow +]{}\infty\), la fonction ne s’annule qu’une fois en un point \(x_1 > x_0\).

  2. Puisque \(f(n^{1/n}) = 0\), en en déduit que la seule solution de l’équation vaut \(n^{1/n}\).


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