Déterminer les limites suivantes:

  1. \(\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow +\infty} x^{ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}}\)

  2. \(\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow 0^+} x^{ \sqrt{x}}}\)

  3. \(\displaystyle{\lim_{x\longrightarrow 0^+} x^{ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}}\)

  4. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}{\scriptstyle e^x +2\over\scriptstyle e^x+1}}\)

  5. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}{\scriptstyle xe^x\over\scriptstyle 3^x}}\)

  6. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty}{\scriptstyle xe^x\over\scriptstyle 3^x}}\)

  7. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty}x^2e^{-x}-x}\)

  8. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+}x^x}\)

  9. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}{\scriptstyle\left(x^x\right)^x\over\scriptstyle x^{x^x}}}\)

  10. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}{\scriptstyle a^{\left(b^x\right)}\over\scriptstyle b^{\left(a^x\right)}}}\)\(1<a<b\).

  11. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\sqrt{x}\ln\left({\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 1+x}\right)}\)

  12. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\left({\scriptstyle\ln x\over\scriptstyle x}\right)^{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}\)

  13. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)^x}\)


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[ID: 306] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:25] [Catégorie(s): Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Bernhard Keller ]




Solution(s)

Solution(s)

Des limites
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:25
  1. \(x^{ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}} = e^{\dfrac{\ln x}{x}}\) mais \(\dfrac{\ln x}{x} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} 0\) donc \(x^{ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} e^0 = \boxed{1}\).

  2. \(x^{\sqrt{x}} = e^{\sqrt{x}\ln x}\) mais \(\sqrt{x}\ln x =x^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}\ln x \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{} 0\) donc \(x^{\sqrt{x}} \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{} e^0 = \boxed{1}\).

  3. \(x^{ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}} = e^{\dfrac{\ln x}{x}}\) mais \(\dfrac{\ln x}{x} \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{} -\infty\) donc \(x^{ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}} \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{} \boxed{0}\).

  4. \({\scriptstyle e^x +2\over\scriptstyle e^x+1} = {\scriptstyle 1+2e^{-x}\over\scriptstyle 1+e^{-x}} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} \boxed{1}\).

  5. \({\scriptstyle xe^x\over\scriptstyle 3^x} =x\left({\scriptstyle e\over\scriptstyle 3}\right)^x = xe^{x\ln{\scriptstyle e\over\scriptstyle 3}}\) donc \({\scriptstyle xe^x\over\scriptstyle 3^x} \xlongequal{X=x\ln{\scriptstyle e\over\scriptstyle 3}} \dfrac{X}{\ln{\scriptstyle e\over\scriptstyle 3}}{e^X } \xrightarrow[X\rightarrow -\infty]{} \boxed{0}\)

  6. De la même façon, toujours parce que \(e<3\) : \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty}{\scriptstyle xe^x\over\scriptstyle 3^x}} = \boxed{-\infty}\).

  7. \(x^2e^{-x}-x = x^2 e^{-x} \left(1 - \dfrac{e^{x}}{x}\right)\xrightarrow[x\rightarrow -\infty]{}\boxed{+\infty}\)

  8. \(x^x = e^{x\ln x}\) mais \(x\ln x \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}\) donc \(x^x \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{} e^0 = \boxed{1}\).t

  9. \({\scriptstyle\left(x^x\right)^x\over\scriptstyle x^{x^x}} = \dfrac{e^{x\ln\left(x^x\right)}}{e^{x^x \ln x}} = e^{\left(x^2-x^x\right)\ln x } = e^{\left(x^{2-x} -1\right)x^x \ln x}\) mais \(x^{2-x}\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} 0\) donc : \(x^{2-x} -1\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} -1\). Comme \(x^x \ln x \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} +\infty\), par opérations sur les limites, \(\left(x^{2-x} -1\right)x^x \ln x \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} -\infty\) et donc : \({\scriptstyle\left(x^x\right)^x\over\scriptstyle x^{x^x}} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} \boxed{0}\).

  10. \({\scriptstyle a^{\left(b^x\right)}\over\scriptstyle b^{\left(a^x\right)}} = \dfrac{ e^{b^x \ln a }}{e^{a^x \ln b}}=e^{a^x \ln b - b^x \ln a} = e^{b^x\ln b \left( \left({\scriptstyle a\over\scriptstyle b}\right)^x - \dfrac{\ln a}{\ln b} \right)}\) mais \(b^x\ln b \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} \infty\) , \(\left({\scriptstyle a\over\scriptstyle b}\right)^x \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} 0\) et \(\dfrac{\ln a}{\ln b}>0\) donc \({\scriptstyle a^{\left(b^x\right)}\over\scriptstyle b^{\left(a^x\right)}}\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}\boxed{+\infty}\).

  11. \(\sqrt{x}\ln\left({\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 1+x}\right) = 2x^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}\ln x - x^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}} \ln \left({1+x}\right) \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} \boxed{0}\)

  12. \(\left({\scriptstyle\ln x\over\scriptstyle x}\right)^{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} = e^{\dfrac{\ln\left({\scriptstyle\ln x\over\scriptstyle x} \right)}{x}}=e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \left(\ln\ln x - \ln x\right)}\) mais \(\dfrac{\ln x}{x} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} 0\) et \(\dfrac{\ln\left(\ln x\right)}{x} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} 0\) donc \(\left({\scriptstyle\ln x\over\scriptstyle x}\right)^{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} e^0 =\boxed{1}\).

  13. \(\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)^x = e^{x\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)} = e^{\dfrac{\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)}{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}}\) mais \({e^{\dfrac{\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)}{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}}} \xlongequal{X={\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}} {e^{\dfrac{\ln\left(1+X\right)}{X}}} \xrightarrow[X\rightarrow 0]{} e^1=\boxed{e}\).


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