Résoudre les inéquations suivantes après avoir donné leur domaine de validité :

  1. \(\ln\left(x^2-2x\right)>\ln\left(4x-5\right)\)

  2. \(e^{x^2}>\left(e^x\right)^4\times e\).

  3. \(a^{x^2} < (\sqrt{a})^{7x-3}\)\(a\in\mathbb{R}_+^*\setminus \{1\}\).


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[ID: 304] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:25] [Catégorie(s): Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Bernhard Keller ]




Solution(s)

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Des inéquations
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:25
  1. On vérifie que l’inéquation n’est valide que si \(x>2\). \[\begin{aligned} & &\ln\left(x^2-2x\right)>\ln\left(4x-5\right)\\ &\Rightarrow & x^2-2x >4x-5 \quad \textrm{ car $\ln$ est croissante }\\ &\Rightarrow & x^2 - 6x+5>0\\ &\Rightarrow & x\in \left]-\infty,1\right[\cup \left]5,+\infty\right[\end{aligned}\] Compte tenu du domaine de validité de l’inéquation, \(\ln\left(x^2-2x\right)>\ln\left(4x-5\right)\) seulement si \(x>5\). Réciproquement, on montre que si alors l’inéquation est vérifiée.

  2. L’inéquation est valide sur \(\mathbb{R}\). \[\begin{aligned} & &e^{x^2}>\left(e^x\right)^4\times e\\ &\Longleftrightarrow&e^{x^2 - 1 } > e^{4x} \\ &\Longleftrightarrow& x^2 - 1 >4x \quad \textrm{ car $\exp$ est croissante}\\ &\Longleftrightarrow& x^2-4x-1>0 \\ &\Longleftrightarrow& x\in\left]-\infty,2-\sqrt{5}\right[ \cup \left]2+\sqrt{5},+\infty\right[\end{aligned}\] L’ensemble solution de l’inéquation est donc :

  3. L’inéquation est valide sur \(\mathbb{R}\). \[\begin{aligned} & &a^{x^2} < (\sqrt{a})^{7x-3}\\ &\Longleftrightarrow&x^2 \ln a < \dfrac{7x-3}{2} \ln a \quad \textrm{ car $\ln$ est croissante }\\ \end{aligned}\] Lorsque \(\ln a>0\) c’est-à-dire lorsque \(a>1\), \[\begin{aligned} & &a^{x^2} < (\sqrt{a})^{7x-3}\\ &\Longleftrightarrow& x^2 < \dfrac{7x-3}{2} \quad \textrm{ car $a\neq 1$ donc $\ln a\neq 0$}\\ &\Longleftrightarrow& 2x^2 -7x+3 <0\\ &\Longleftrightarrow& x\in\left]{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2},3\right[\end{aligned}\] L’inégalité est vraie si et seulement si .

    Lorsque \(\ln a<0\) c’est-à-dire lorsque \(0<a<1\), \[\begin{aligned} & &a^{x^2} > (\sqrt{a})^{7x-3}\\ &\Longleftrightarrow& x^2 > \dfrac{7x-3}{2} \\ &\Longleftrightarrow& 2x^2 -7x+3 >0\\ &\Longleftrightarrow& x\in\left]-\infty,{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\right[ \cup \left]3,+\infty\right[\end{aligned}\] L’inégalité est vraie si et seulement si .


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