Résoudre les équations suivantes après avoir déterminé leur domaine de validité :

  1. \(\ln\left(x-1\right)=\ln\left(3x-5\right)\)

  2. \(\ln\left(\sqrt{2x-3}\right)=\ln\left(6-x\right)-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\ln x\)

  3. \(2\ln x=\ln\left(x+4\right)+\ln \left(2x\right)\)

  4. \(e^{4x}-3e^{2x}-4=0\).

  5. \(8^{6x}-3.8^{3x}-4=0\).

  6. \(x^{\sqrt x}=(\sqrt x)^x\)

  7. \(2^{x^3}=3^{x^2}\)

  8. \(\log_a x = \log_x a\)\(a\in\mathbb{R}_+^*\setminus\left\{1\right\}\)

  9. \(\log_3 x - \log_2 x = 1\).

  10. \(2^x+2^{x+1}+...+2^{x+n}=3^x+3^{x+1}+...+3^{x+n}\)\(n\in \mathbb{N}\)


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[ID: 302] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:25] [Catégorie(s): Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Bernhard Keller ]




Solution(s)

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Des équations
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:25
  1. domaine de validité :\(\left] {\scriptstyle 5\over\scriptstyle 3},+\infty\right[\). \[\begin{aligned} & &\ln\left(x-1\right)=\ln\left(3x-5\right)\\ &\Rightarrow & x-1 = 3x-5\\ &\Rightarrow &x=2\end{aligned}\] Réciproquement est solution de cette équation.

  2. domaine de validité :\(\left] {\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2},6\right[\). \[\begin{aligned} & &\ln\left(\sqrt{2x-3}\right)=\ln\left(6-x\right)-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\ln x\\ &\Rightarrow &\ln\left(\sqrt{2x-3}\right)=\ln\left( \dfrac{6-x}{\sqrt{x} }\right)\\ &\Rightarrow & \sqrt{2x-3} = \dfrac{6-x}{\sqrt{x} }\end{aligned}\] Mais : \[\begin{aligned} &&\sqrt{2x-3} = \dfrac{6-x}{\sqrt{x} }\\ &\Rightarrow & x\left(2x-3\right) = \left(6-x\right)^2 \\ &\Rightarrow & x(x+8)=0\\ &\Rightarrow & x=0 \quad \textrm{ ou} \quad x=-8\end{aligned}\] Aucun de ces nombres n’est admissible, il n’y a pas de solution.

  3. \[\begin{aligned} & &2\ln x=\ln\left(x+4\right)+\ln \left(2x\right)\\ &\Rightarrow & \ln\left( \dfrac{2x\left(x+4\right)}{x^2} \right) =0\\ &\Rightarrow & \dfrac{2x\left(x+4\right)}{x^2} = 1\\ &\Rightarrow & x^2+9x-36=0\\ &\Rightarrow & x=3 \quad \textrm{ ou} \quad x=-12\end{aligned}\] Mais \(-12\) ne vérifie pas l’équation. On vérifie par contre que \(3\) la vérifie. et l’unique solution de l’équation est .

  4. On a  : \[\begin{aligned} & &e^{4x}-3e^{2x}-4=0\\ &\Rightarrow &\begin{cases} X = e^{2x} \\ X^2-3X-4=0 \end{cases}\\ &\Rightarrow & \begin{cases} X = e^{2x} \\ X=4 \quad \textrm{ ou} \quad X=-1 \end{cases}\\ &\Rightarrow & e^{2x} = 4 \quad \textrm{ (On ne peut avoir $e^{2x}=-1$ !) }\\ &\Rightarrow & x=\ln 2\end{aligned}\] Réciproquement, on montre que est bien solution de l’équation.

  5. Cette équation est valide sur \(\mathbb{R}\). On a la série d’implications : \[\begin{aligned} & &8^{6x}-3.8^{3x}-4=0 \\ &\Rightarrow &\begin{cases} X^2-3X-4=0 \\ X=8^{3x} \end{cases}\\ &\Rightarrow &\begin{cases}X=-1 \quad \textrm{ ou} \quad X=4 \\ X=8^{3x}\end{cases}\\ &\Rightarrow & 8^{3x} = -1 (\textrm{ impossible} ) \quad \textrm{ ou} \quad 8^{3x} = 4\\ &\Rightarrow & x= {\scriptstyle 2\over\scriptstyle 9}\end{aligned}\] Réciproquement, on vérifie que \(\fbox{$ {\scriptstyle 2\over\scriptstyle 9}$}\) est bien solution de l’équation.

  6. \[\begin{aligned} & &x^{\sqrt x}=(\sqrt x)^x\\ &\Rightarrow &\sqrt{x}\ln x = x\ln \sqrt{x}\\ &\Rightarrow &\sqrt{x}\ln x - {\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}\ln x = 0\\ &\Rightarrow & \sqrt{x}\left(1 - {\scriptstyle\sqrt{x}\over\scriptstyle 2} \right)\ln x = 0\\ &\Rightarrow & \sqrt{x} = 0 \quad \textrm{ ou} \quad 1 - {\scriptstyle\sqrt{x}\over\scriptstyle 2} = 0 \quad \textrm{ ou} \quad\ln x = 0\\ &\Rightarrow & x=0 \quad \textrm{ ou} \quad x = 4 \quad \textrm{ ou} \quad x=1\end{aligned}\] Réciproquement, seuls sont solutions de l’équation.

  7. \[\begin{aligned} & & 2^{x^3}=3^{x^2}\\ &\Rightarrow &x^3 \ln 2 = x^2 \ln 3\\ &\Rightarrow & x^2\left( x\ln 2 - \ln 3\right) = 0\\ &\Rightarrow & x=0 \quad \textrm{ ou} \quad x= \dfrac{\ln 3}{\ln 2}\end{aligned}\] Réciproquement, ces deux nombres sont solutions donc les solutions de l’équation sont : .

  8. \[\begin{aligned} & &\log_a x = \log_x a\\ &\Rightarrow & \dfrac{\ln x}{\ln a} = \dfrac{\ln a}{\ln x} \\ &\Rightarrow & \ln^2 x - \ln ^2 a = 0\\ &\Rightarrow & \left(\ln x - \ln a\right) \left(\ln x + \ln a\right) =0\\ &\Rightarrow & x=a \quad \textrm{ ou} \quad x= {\scriptstyle 1\over\scriptstyle a} \end{aligned}\] Réciproquement, les nombres sont bien solutions de l’équation.

  9. \[\begin{aligned} & &\log_3 x - \log_2 x = 1\\ &\Rightarrow & \dfrac{\ln x}{\ln 3} - \dfrac{\ln x}{\ln 2} = 1\\ &\Rightarrow & \dfrac{\ln 2 - \ln 3}{\ln 3 \ln 2} \ln x = 1\\ &\Rightarrow & x=\exp\left( \dfrac{\ln 3 \ln 2}{ \ln {\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3}} \right)\end{aligned}\] Réciproquement est solution de l’équation.

  10. On reconnaît des sommes géométriques : \[\begin{aligned} & &2^x+2^{x+1}+...+2^{x+n}=3^x+3^{x+1}+...+3^{x+n} \\ &\Rightarrow &2^x\left(1 + 2 + \dots+ 2^n\right) = 3^x\left(1+3+\dots+3^n\right)\\ &\Rightarrow & \left({\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3}\right)^x = \dfrac{\dfrac{1-3^{n+1}}{1-3} }{\dfrac{1-2^{n+1}}{1-2}}\\ &\Rightarrow & \left({\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3}\right)^x = \dfrac{1}{2}\dfrac{3^{n+1} - 1}{2^{n+1} - 1}\\ &\Rightarrow & x= \dfrac{\ln\left( \dfrac{1}{2}\dfrac{3^{n+1} - 1}{2^{n+1} - 1}\right)}{\ln {\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3}}\end{aligned}\] Réciproquement, on vérifie que  : est bien solution de l’équation.


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