1. Montrer que : \[\forall x>-1,\quad \ln\left(1+x\right)\leqslant x\]

  2. En déduire que : \[\forall n> 1,\quad \left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)^n \leqslant e \leqslant\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)^{-n}\]


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[ID: 298] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:25] [Catégorie(s): Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur Bernhard Keller ]




Solution(s)

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Inégalité de convexité
Par emmanuel le 11 janvier 2021 15:25
  1. Il suffit, pour montrer cette inégalité, d’étudier les variations de \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \left]-1,+\infty\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \ln\left(1+x\right) - x \end{array} \right.\).

  2. Soit \(n >1\). Appliquant l’inégalité précédente avec \(x={\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\), on a : \(\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)\leqslant{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\) ce qui amène :
    \(n\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)\leqslant 1\) et, la fonction exponentielle étant strictement croissante : \(e^{n\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)}\leqslant e\). Par conséquent : \(\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)^n \leqslant e\). De même, comme \(n>1\), \(-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} > -1\) et on peut appliquer la première question avec \(x=-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\), on obtient : \(\ln\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) \leqslant-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\). Multipliant les deux membres de cette inégalité par \(-n\), on a : \(-n \ln\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) \geqslant 1\) et donc, passant comme précédemment à l’exponentielle : \(e \leqslant\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)^{-n}\).


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