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Inégalité de convexité
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[ID: 298] [Date de publication: 11 janvier 2021 15:25] [Catégorie(s): Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Bernhard Keller Alain Soyeur ]Solution(s)
Solution(s)
Inégalité de convexité
Par Emmanuel Vieillard-Baron Bernhard Keller Alain Soyeur le 11 janvier 2021 15:25
Par Emmanuel Vieillard-Baron Bernhard Keller Alain Soyeur le 11 janvier 2021 15:25
\(n\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)\leqslant 1\) et, la fonction exponentielle étant strictement croissante : \(e^{n\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)}\leqslant e\). Par conséquent : \(\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)^n \leqslant e\). De même, comme \(n>1\), \(-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} > -1\) et on peut appliquer la première question avec \(x=-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\), on obtient : \(\ln\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) \leqslant-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\). Multipliant les deux membres de cette inégalité par \(-n\), on a : \(-n \ln\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) \geqslant 1\) et donc, passant comme précédemment à l’exponentielle : \(e \leqslant\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)^{-n}\).
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