Soit \((p_n)\) une suite d’entiers naturels, strictement croissante et telle que \(p_n/n\to _{n\to \infty }\infty\). On pose pour \(x\in {]-1,1[}\) : \(f(x)=\sum_{n=0}^\infty x^{p_n}\). Montrer que \((1-x)f(x)\to _{x\to 1^-}0\).

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[ID: 4211] [Date de publication: 21 mars 2024 14:56] [Catégorie(s): Etude théorique de la somme d'une série de fonction ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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Série lacunaire
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:56

Pour \(k\) fixé et \(x\in {[0,1[}\) on a \(0\leq f(x) \le\text{polynôme}(x) + \sum_{n=0}^\infty x^{kn} = \text{polynôme}(x) + \dfrac1{1-x^k}\) et \(\dfrac1{1-x^k}\sim\dfrac1{k(1-x)}\) au voisinage de \(1\) donc \(0\leq f(x)\leq \dfrac2{k(1-x)}\) pour \(x\) suffisament proche de \(1\).

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