Soit \(f: x\mapsto \lim_{n\to \infty }\Bigl(\sum_{k=-n}^n\dfrac{1}{k+x}\Bigr)\).

  1. Quel est le domaine de définition de \(f\) ?

  2. Montrer que, pour tout \(x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\)  :

    1. \(f(-x)=-f(x)\).

    2. \(f(x+1)=f(x)\).

    3. \(f(2x)={1/2}(f(x+{1/2})+f(x))\).

  3. Montrer que \(x\mapsto f(x)-\pi \mathop{\rm cotan}\nolimits(\pi x)\) admet un prolongement par continuité à \(\mathbb{R}\) entier.

  4. Montrer que pour tout \(x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\), \(f(x)=\pi \mathop{\rm cotan}\nolimits(\pi x)\).

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[ID: 4209] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Développement en série de \(\mathop{\rm cotan}\nolimits\), Centrale MP 2011
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:46

  1. \(D_f=\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\) et \(f(x)=\dfrac1x + \sum_{k=1}^\infty \dfrac{2x}{x^2 -k^2 }\).

    1. La formule ne marche que si \(2x\) n’est pas entier.

  3. \(f(x)-1/x\) et \(\pi \mathop{\rm cotan}\nolimits(\pi x)-1/x\) se prolongent par continuité en \(0\) (avec des limites nulles), donc la différence aussi. Par \(1\)-périodicité, cette différence se prolonge par continuité à \(\mathbb{R}\) entier.

  4. Soit \(g(x)=f(x)-\pi \mathop{\rm cotan}\nolimits(\pi x)\) pour \(x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\) et \(g(x)=0\) pour \(x\in \mathbb{Z}\) : \(g\) est continue, vérifie la relation fonctionnelle \(g(2x)={1/2}(g(x+{1/2})+g(x))\) pour \(x\in \mathbb{R}\setminus {1/2}\mathbb{Z}\), et donc aussi pour tout \(x\in \mathbb{R}\) par continuité. On en déduit \(g(x)=0\) pour \(x\in {1/2}\mathbb{Z}\), puis pour tout \(x\in \mathbb{Z}[{1/2}]\) et enfin pour tout \(x\in \mathbb{R}\) par densité.

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