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Fonction définie par une série, CCP 2015
Soient \(n\in \mathbb{N}^*\) et \(x\in \mathbb{R}\). On pose \(f_n(x)=\dfrac1{n^3}\ln(1+n^2 x^2 )\) et \(S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\).
Montrer que \(S\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que \(S\) est de classe \(\mathcal C ^1\) sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que \(S\) est deux fois dérivable sur \(]0,+\infty [\).
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[ID: 4207] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Fonction définie par une série, CCP 2015
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45
A \(x\) fixé, \(f_n(x)=o(1/n^{2,5})\).
\(|f_n'(x)| = \dfrac{2|x|}{n(1+n^2 x^2 )} \leq \dfrac1{n^2 }\). Il y a convergence normale de \(\sum f_n'\) donc on peut dériver terme à terme.
\(f_n'(x) = \dfrac1{n^2 }{g(nx)}\) avec \(g(t)=\dfrac{2t}{1+t^2 }\) donc \(f_n''(x)=\dfrac1ng'(nx)\). Par étude de fonction, \(g'\) est croissante sur \([\sqrt 3,+\infty [\) de limite nulle en \(+\infty\) d’où \(|f_n''(x)|\leq \dfrac1n|g'(na)|=O(1/n^3)\) pour \(x\geq a>0\).
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