1. Calculer \(S_n(t) = \sum_{p=1}^n t^{p-1}\sin(px)\) puis \(S(t) = \lim_{n\to \infty } S_n(t)\).

  2. Calculer \(\int _{t=0}^1 S_n(t)\,d t\) et \(\int _{t=0}^1 S(t)\,d t\).

  3. En déduire que \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin nx}n\) converge et donner sa valeur.

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[ID: 4205] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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Étude de \(\sum t^{p-1}\sin(px)\) pour \(x\in {]0,\pi [}\), TPE MP 2005
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

  1. \(S_n(t) = \mathop{\mathrm{Im}}\Bigl(\dfrac{e^{ix}-t^{n}e^{i(n+1)x}}{1-te^{ix}}\Bigr) \to _{n\to \infty } \mathop{\mathrm{Im}}\Bigl(\dfrac{e^{ix}}{1-te^{ix}}\Bigr) = \dfrac{\sin x}{1-2t\cos x + t^2 }\) pour \(-1<t<1\).

  2. \(\int _{t=0}^1 S_n(t)\,d t = \sum_{p=1}^n \dfrac{\sin(px)}{p}\).

    \(\int _{t=0}^1 S(t)\,d t = (t-\cos x = u\sin x) = \int _{u=-\cot x}^{\tan x/2} \dfrac{d u}{1+ u^2 } = \dfrac{\pi -x}2\).

  3. TCD : \(|S_n(t)|\leq \dfrac2{\sin x}\) intégrable par rapport à \(t\) sur \([0,1]\). On en déduit \(\sum_{p=1}^\infty \dfrac{\sin(px)}{p} = \dfrac{\pi -x}2\).

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