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[ID: 4203] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Recherche d’équivalents, Centrale MP 2006
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

On a \(\int _{t=x}^{+\infty }\dfrac{d t}{\mathop{\rm sh}\nolimits t} \leq xS_1(x) \leq \dfrac x{\mathop{\rm sh}\nolimits x} + \int _{t=x}^{+\infty }\dfrac{d t}{\mathop{\rm sh}\nolimits t}\) et \(\dfrac1{\mathop{\rm sh}\nolimits t}=\dfrac1t +O(t)\) donc \(\int _{t=x}^{+\infty }\dfrac{d t}{\mathop{\rm sh}\nolimits t}=-\ln(x)+O(1)\). On en déduit \(S_1(x)\sim-\dfrac{\ln x}x\).

La même méthode ne marche pas pour \(S_2\) car le terme résiduel, \(\dfrac x{\mathop{\rm sh}\nolimits^2 (x)}\) n’est pas négligeable devant \(\int _{t=x}^{+\infty }\dfrac{d t}{\mathop{\rm sh}\nolimits^2 (t)}\). Par contre, on peut remarquer que la série \(\sum_{n=1}^{\infty }{\dfrac{x^2 }{\mathop{\rm sh}\nolimits^{2}{(nx)}}}\) est normalement convergente sur \(\mathbb{R}\), d’où \(S_2(x)\sim\dfrac{\zeta (2)}{x^2 }\).