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[ID: 4201] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Fonction définie par une série
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

1. CSA : \(0\leq f(x)\leq \dfrac1{\sqrt {1+x^2 }}\) donc \(f(x)\to _{x\to +\infty }0\).

2. \[\begin{aligned} xf(x) &= \sum_{p=0}^\infty \dfrac{x}{\sqrt {(2p+1)^2 +x^2 }} - \dfrac{x}{\sqrt {(2p+2)^2 +x^2 }}\\ &= \sum_{p=0}^\infty \int _{t=2p+1}^{2p+2}\dfrac{xt}{(t^2 +x^2 )^{3/2}}\,d t\\ &= \sum_{p=0}^\infty \int _{u=(2p+1)/x}^{(2p+2)/x}\dfrac{u}{(u^2 +1)^{3/2}}\,d u. \end{aligned}\]

   On a \(\int _{u=0}^\infty \dfrac u{(u^2 +1)^{3/2}}\,d u = 1 = a + b\) avec :

   \(a = \sum_{p=0}^\infty \int _{u=(2p)/x}^{(2p+1)/x}\dfrac{u}{(u^2 +1)^{3/2}}\,d u\) et \(b = \sum_{p=0}^\infty \int _{u=(2p+1)/x}^{(2p+2)/x}\dfrac{u}{(u^2 +1)^{3/2}}\,d u = xf(x)\).

   \(h\) : \(u\mapsto \dfrac{u}{(u^2 +1)^{3/2}}\) est croissante sur \(\left[0,\sqrt {{1/2}}\right]\) et décroissante sur \(\left[\sqrt {{1/2}},+\infty \right[\) donc \(|a-b| \leq \dfrac{3\left\|h\right\|_\infty }x\), et \(xf(x)\to _{x\to +\infty }{1/2}\).