Soin \((a_n)_{n\geq 1}\) une suite complexe telle que la série \(\sum a_n\) converge. On pose : \(f(h) = \sum_{n=1}^\infty a_n\dfrac{\sin^2 (nh)}{(nh)^2 }\) si \(h\neq 0\) et \(f(0) = \sum_{n=1}^\infty a_n\). Étudier le domaine de définition et la continuité de \(f\).

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[ID: 4199] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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ENS Lyon-Cachan MP 2002
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

On suppose \(h\) réel. La série converge localement normalement sur \(\mathbb{R}^*\) donc \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et continue sur \(\mathbb{R}^*\). Continuité en \(0\) : on pose \(A_n = \sum_{k=n}^\infty a_k\) et \(\varphi (t) = \dfrac{\sin^2 (t)}{t^2 }\) si \(t\neq 0\), \(\varphi (0) = 1\) (\(\varphi\) est \(\mathcal C ^\infty\) sur \(\mathbb{R}\) comme somme d’une série entière de rayon infini). Pour \(h\neq 0\) on a : \[f(h) = \sum_{n=1}^\infty (A_n-A_{n+1})\varphi (nh) = A_1\varphi (h) + \sum_{n=2}^\infty A_n(\varphi (nh)-\varphi ((n-1)h)) = A_1\varphi (h) + \sum_{n=2}^\infty A_n\int _{t=(n-1)h}^{nh}\varphi '(t)\,d t.\] Cette dernière série est uniformément convergente sur \(\mathbb{R}\) car \(A_n\to _{n\to \infty }0\) et \(\int _{t=0}^{+\infty }|\varphi '(t)|\,d t\) est convergente.

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