On pose \(\varphi (x)= d(x,\mathbb{Z})=\inf\{ |x-n| \text{ tq }n\in \mathbb{Z}\}\).

  1. Montrer que \(f\) : \(\mathbb{R}\ni x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty } (\frac34)^n \varphi (4^n x)\) est définie et continue.

  2. Montrer que \(\varphi\) est lipschitzienne. Que peut-on en déduire pour \(f\) ?

  3. Montrer que \(f\) n’est dérivable en aucun point.


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[ID: 4197] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Centrale MP 2002
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45
  1. La série converge normalement et \(\varphi\) est continue.

  2. \(\varphi\) est \(1\)-lipschitzienne, mais on ne peut rien en déduire pour \(f\) :

    pour \(N\) fixé et \(0<h\leq \dfrac1{2.4^n }\), on a \(|f(h)-f(0)| = f(h)\geq \sum_{n=1}^n 3^n h = \dfrac{3^{N+1}-3}2h\) donc \(f\) n’est pas lipschitzienne au voisinage de \(0\).

  3. D’après ce qui précède, le taux d’accroissement de \(f\) en \(0\) est arbitrairement grand, donc \(f\) n’est pas dérivable en \(0\). On montre de même que \(f\) n’est pas dérivable en \(x\in \mathbb{R}\).


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