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Centrale MP 2001
Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{t^n }{1-t^n }\).
Pour quelles valeurs de \(t\), \(S\) est-elle définie ? Est-elle continue ?
Montrer qu’au voisinage de \(1^-\) on a \(S(t) = -\dfrac{\ln(1-t)}{1-t} + O\Bigl(\dfrac1{1-t}\Bigr)\). On pourra développer \(\ln(1-t)\) en série entière.
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[ID: 4195] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Centrale MP 2001
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45
\(-1<t<1\).
Pour \(0\leq t<1\) et \(n\geq 2\) on a : \[\begin{aligned} (1-t)\dfrac{t^n }{1-t^n } &= \dfrac{t^n }{1+t+\dots+t^{n-1}}\\ &= \dfrac{t^n }{n} + \dfrac{t^n ((1-t) + (1-t^2 ) + \dots+ (1-t^{n-1}))}{n(1+t+\dots+t^{n-1})}\\ &= \dfrac{t^n }{n} + \dfrac{(t^n -t^{n+1})((n-1) + (n-2)t + \dots+ t^{n-2})}{n(1+t+\dots+t^{n-1})} \end{aligned}\] d’où \(0 \leq (1-t)\dfrac{t^n }{1-t^n } - \dfrac{t^n }{n} \leq \dfrac{n-1}{n}(t^n -t^{n+1}) \leq t^n -t^{n+1}\) (vrai aussi si \(n=1\)) et en sommant : \[0\leq (1-t)S(t) + \ln(1-t) \leq 1.\]
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