Pour \(x\in \mathbb{R}_{+}\) et \(n\in \mathbb{N}\), \(n\geq 2\) on pose \(f_n(x) = \dfrac{xe^{-nx}}{\ln n}\) et \(S(x) = \sum_{n=2}^\infty f_n(x)\) sous réserve de convergence.

  1. Étudier la convergence simple, normale, uniforme de la série \(\sum f_n\) sur \(\mathbb{R}_{+}\).

  2. Montrer que \(S\) est de classe \(\mathcal C ^1\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\).

  3. Montrer que \(S\) n’est pas dérivable à droite en \(0\).

  4. Montrer que \(x^kS(x)\) tend vers \(0\) en \(+\infty\) pour tout \(k\in \mathbb{N}\).

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[ID: 4191] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Mines MP 2001
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

  1. Il y a convergence normale sur tout intervalle \([a,+\infty [\) avec \(a>0\). Il n’y a pas convergence normale au voisinage de \(0\) car \(\sup\Bigl\{ \dfrac{xe^{-nx}}{\ln n},\ x\geq 0\Bigr\} = \dfrac1{en\ln n}\) atteint pour \(x=\dfrac1n\) et \(\sum\dfrac1{n\ln n}\) diverge (série de Bertrand). Par contre il y a convergence uniforme sur \([0,+\infty [\) car \[0\leq \sum_{k=n}^\infty f_k(x) \leq \dfrac1{\ln n}\sum_{k=n}^\infty xe^{-kx} = \dfrac{xe^{-nx}}{\ln n(1-e^{-x})} \leq \dfrac{\sup\{ t/(1-e^{-t}),\ t\geq 0\} }{\ln n}.\]

  2. \(\dfrac{S(x)-S(0)}x = \sum_{n=2}^\infty \dfrac{e^{-nx}}{\ln n} \to _{x\to 0_{+} }\sum_{n=2}^\infty \dfrac1{\ln n} = +\infty\) par convergence monotone.

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