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[ID: 4186] [Date de publication: 21 mars 2024 14:45] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Développement de \(\coth(x)\)
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:45

1. \(F_n(X) = \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{e^{2ik\pi /n}}{X+n(1-e^{2ik\pi /n})}\).

2. \(F_n(2x) - F_n(-2x) = \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{4xe^{2ik\pi /n}}{4x^2 -n^2 (1-e^{2ik\pi /n})^2 } = \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{x}{x^2 e^{-2ik\pi /n}+n^2 \sin(k\pi /n)^2 }\).

   Supposons \(n\) impair, et regroupons les termes conjugués obtenus pour \(k\) et \(n-k\) :

   \(F_n(2x) - F_n(-2x) = \dfrac1x + \sum_{k=1}^{(n-1)/2}\Bigl(\underbrace{ \dfrac{x}{x^2 e^{-2ik\pi /n}+n^2 \sin(k\pi /n)^2 } + \dfrac{x}{x^2 e^{2ik\pi /n}+n^2 \sin(k\pi /n)^2 } }_{=u(k,n,x)}\Bigr)\).

   On transforme la somme en série de \(k=1\) à \(k=\infty\) en posant \(u(k,n,x) = 0\) si \(k>(n-1)/2\), puis on passe à la limite, sous réserve de justification, dans cette série pour \(n\to \infty\), ce qui donne la formule demandée.

   Justification de l’interversion limite-série :

   en utilisant \(\sin(t)\geq \dfrac{2t}{\pi }\) pour \(0\leq t\leq \dfrac{\pi }2\) on a \(|u(k,n,x)| \leq \dfrac{2|x|}{4k^2 -x^2 }\) pour tout \(k\geq |x/2|\), donc il y a convergence normale par rapport à \(n\), à \(x\) fixé.

3. \(\sum_{k=1}^\infty \dfrac{2}{x^2 +k^2 \pi ^2 } = \dfrac{\coth(x)}x-\dfrac1{x^2 }\) est normalement convergente sur \(\mathbb{R}\), on peut passer à la limite pour \(x\to 0\).