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Fonction définie par une série
Soit \(g(x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n }{n!\,(x+n)}\).
Déterminer le domaine, \(D\) de définition de \(g\) et prouver que \(g\) est de classe \(\mathcal C ^\infty\) sur \(D\).
Montrer que la quantité : \(xg(x) - g(x+1)\) est constante sur \(D\).
Tracer la courbe représentative de \(g\) sur \(]0,+\infty [\).
Donner un équivalent de \(g(x)\) en \(+\infty\) et en \(0_{+}\).
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[ID: 4178] [Date de publication: 21 mars 2024 14:44] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Fonction définie par une série
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:44
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:44
\(xg(x) - g(x+1) = \frac1e\).
CSA \(\Rightarrow g' < 0\). \(g(x)\to _{x\to 0_{+} } +\infty\), \(g(x)\to _{x\to +\infty }0\).
\(g(x) \sim 1/x\) en \(0_{+}\) et \(g(x) \sim 1/(ex)\) en \(+\infty\).
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