Soit \(f(a) = \sum_{n=0}^\infty e^{-a^2 n^2 }\) sous réserve de convergence \((a\in \mathbb{R}\)).

  1. Domaine de définition de \(f\) ?

  2. Limite de \(f(a)\) quand \(a\to +\infty\) ?

  3. Limite de \(af(a)\) quand \(a\to 0\) ?

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[ID: 4175] [Date de publication: 21 mars 2024 14:44] [Catégorie(s): Etude pratique de la somme d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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Fonction définie par une série (Centrale MP 2003)
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:44

  1. \(\mathbb{R}^*\).

  2. TCM : \(f(a)\to _{a\to +\infty }1\).

  3. CSI : \(\dfrac{\sqrt \pi }{2a} = \int _{x=0}^\infty e^{-a^2 x^2 }\,d x \leq f(a) \leq \int _{x=0}^\infty e^{-a^2 x^2 }\,d x + 1 = \dfrac{\sqrt \pi }{2a} + 1\). Donc \(af(a)\to _{a\to 0_{+} }\dfrac{\sqrt \pi }2\).

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