Soit \(f_n(x) = \dfrac{n^x}{(1+x)(1+x/2)\dots(1+x/n)}\).

  1. Étudier la convergence simple des fonctions \(f_n\).

  2. On note \(f = \lim f_n\). Calculer \(f(x)\) en fonction de \(f(x-1)\) lorsque ces deux quantités existent.

  3. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C ^1\) sur son domaine de définition (on calculera \(f_n'(x)/f_n(x)\)).

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[ID: 4171] [Date de publication: 21 mars 2024 14:41] [Catégorie(s): Etude pratique de la convergence d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Fonction \(\Gamma\)
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:41

  1. \(\dfrac{f_n(x)}{f_{n+1}(x)} = 1 - \dfrac{x(x+1)}{2n^2 } + o\left(\dfrac1{n^2 }\right)\) donc la série \(\sum\ln f_n(x)\) est convergente pour tout \(x\not\in -\mathbb{N}^*\).

  2. \(\dfrac{f_n'(x)}{f_n(x)} \to _{n\to \infty } -\gamma + \sum_{k=1}^\infty \dfrac x{k(k+x)}\).

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