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Fonction définie par une série
Soit \(u_n(x) = (-1)^n \ln\left(1+\dfrac x{n(1+x)}\right)\) et \(f(x) = \sum_{n=1}^\infty u_n(x)\).
Montrer que la série \(f(x)\) converge simplement sur \(\mathbb{R}_{+}\).
Majorer convenablement le reste de la série, et montrer qu’il y a convergence uniforme sur \(\mathbb{R}_{+}\).
Y a-t-il convergence normale ?
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[ID: 4169] [Date de publication: 21 mars 2024 14:41] [Catégorie(s): Etude pratique de la convergence d'une série de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Fonction définie par une série
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:41
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:41
CSA \(\Rightarrow |R_n(x)| \leq |u_{n+1}(x)| \leq \ln\left(1+\frac1{n+1}\right)\).
Non, \(\left\|u_n\right\|_\infty = \ln\left(1+\frac1n\right)\).
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