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[ID: 4166] [Date de publication: 21 mars 2024 14:40] [Catégorie(s): Approximation des fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Fraction rationnelle de meilleure approximation (Ens Ulm-Lyon-Cachan MP\(^*\) 2003)
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:40

1. \(R\) est trivialement un \(\mathbb{R}\)-ev. Le théorème de décomposition en éléments simples donne une base de \(R\) en se limitant aux éléments simples n’ayant pas de pôle dans \([0,1]\).

   \(R_{m,n}\) n’est pas un ev. Par exemple \(\dfrac1{X+1}\) et \(\dfrac1{X+2}\) appartiennent à \(R_{0,1}\) mais pas leur somme.

2. Soit \((f_k)\) une suite d’éléments de \(R_{m,n}\) telle que \(\left\|g-f_k\right\|\to _{k\to \infty }d\). On note \(f_k=P_k/Q_k\) avec \(P_k\in \mathbb{R}_m[X]\), \(Q_k\in \mathbb{R}_n[X]\) et \(\left\|Q_k\right\|=1\). On a \(\left\|P_k\right\| \leq \left\|g-f_k\right\| + \left\|g\right\|\) donc les suites \((P_k)\) et \((Q_k)\) sont bornées dans \(\mathbb{R}_m[X]\) et \(\mathbb{R}_n[X]\). Quitte à prendre une sous-suite, on se ramène au cas \(P_k\to _{k\to \infty }P\in \mathbb{R}_m[X]\) et \(Q_k\to _{k\to \infty }Q\in \mathbb{R}_n[X]\) avec de plus \(\left\|Q\right\|=1\).

   Si \(Q\) n’a pas de racine dans \([0,1]\), il existe \(\alpha >0\) tel que \(|Q(x)|\geq \alpha\) pour tout \(x\in [0,1]\), donc \(|Q_k(x)|\geq {1/2}\alpha\) pour tout \(x\in [0,1]\) et tout \(k\) assez grand. On en déduit que la suite \((P_k/Q_k)\) converge uniformément vers \(P/Q\) sur \([0,1]\) et que \(r_0=P/Q\) convient.

   Si \(Q\) admet dans \([0,1]\) des racines \(a_1,\dots,a_p\) de multiplicités \(\alpha _1,\dots,\alpha _p\), on note \(Q^0 = \prod _i(X-a_i)^{\alpha _i}\) et \(Q^1 = Q/Q^0\). Soit \(M = \max\{ \left\|g-f_k\right\|,\ k\in \mathbb{N}\}\). Pour tous \(x\in [0,1]\) et \(k\in \mathbb{N}\) on a \(|g(x)Q_k(x)-P_k(x)|\leq M|Q_k(x)|\) donc à la limite, \(|g(x)Q(x)-P(x)|\leq M|Q(x)|\) pour tout \(x\in [0,1]\). Ceci implique que \(Q^0\) divise \(P\), on note \(P^1 =P/Q^0\). Alors pour tout \(x\in [0,1]\) et \(k\in \mathbb{N}\) on a \(|g(x)Q^0(x)-P_k(x)Q^0(x)/Q_k(x)|\leq \left\|g-f_k\right\||Q^0(x)|\), d’où \(|g(x)Q^0(x)-P^1 (x)Q^0(x)/Q^1 (x)|\leq d|Q^0(x)|\) et finalement \(r_0=P^1 /Q^1\) convient.