On considère \(f:x\mapsto 2x(1-x)\) définie sur \([0,1]\).

  1. Étude de la suite de fonction \(g_{n}\), avec \(g_{n}=f^{n}=f\circ \dots\circ f\).

  2. Soit \([a,b]\subset {]0,1[}\) et \(h\) continue sur \([a,b]\). Montrer que \(h\) est limite uniforme sur \([a,b]\) d’une suite de polynômes à coefficients entiers.

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[ID: 4162] [Date de publication: 21 mars 2024 14:40] [Catégorie(s): Approximation des fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Polynômes à coefficients entiers, ENS Lyon MP\(^*\) 2005
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:40

  1. Il y a convergence simple vers la fonction nulle en \(0\) et \(1\) et égale à \(1/2\) ailleurs. La convergence est uniforme sur tout \([a,b]\subset {]0,1[}\).

  2. La question précédente donne le résultat pour \(1/2\), il suffit alors d’utiliser le théorème de Weierstrass et les nombres dyadiques.

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