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\(f(2x)=2f(x)-2f^2 (x)\), Centrale 2014
On étudie l’équation fonctionnelle \((E)\) : \(f(2x)=2f(x)-2f^2 (x)\).
Quelles sont les solutions constantes sur \(\mathbb{R}\) ?
Pour \(h : \mathbb{R}\to \mathbb{R}\), on pose \(f(x) = xh(x)\). A quelle condition sur \(h\), \(f\) est-elle solution de \((E)\) ?
On définit les fonctions \(h_n\) par \(h_{0} (x)=1\) et \(h_{n+1}(x)=h_n(x/2)-(x/2)h_n^2 (x/2)\).
Pour \(x,y\in [0,1]\) on pose \(T_x(y)=y-xy^2 /2\).
Montrer que \(T_x\) est \(1\)-lipschitzienne sur \([0,1]\) et \(T_x([0,1])\subset [0,1]\).
Montrer que la suite \((h_n)\) converge uniformément sur \([0,1]\).
Montrer que \((E)\) admet une solution continue non constante sur \([0,1]\).
Montrer que \((E)\) admet une solution continue non constante sur \(\mathbb{R}_{+}\).
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[ID: 4153] [Date de publication: 21 mars 2024 14:01] [Catégorie(s): Etude théorique de la limite d'une suite de fonction ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
\(f(2x)=2f(x)-2f^2 (x)\),
Centrale 2014
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:01
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:01
La fonction nulle.
\(h(2x)=h(x)-xh^2 (x)\) pour \(x\neq 0\).
\(0\leq T_x'(y)=1-xy\leq 1\).
\(|h_{n+1}(x)-h_n(x)|=|T_x(h_n(x/2))-T_x(h_{n-1}(x/2))| \leq |h_n(x/2)-h_{n-1}(x/2)|\) et par récurrence \(|h_{n+1}(x)-h_n(x)|\leq |h_{1}(x/2^n)-h_{0} (x/2^n)|\leq 1/2^{n+1}\) : la série télescopique est normalement convergente.
Soit \(h=\lim(h_n)\). C’est une fonction continue non nulle car \(h(0)=1\), et qui vérifie 2). La fonction \(f=x\mapsto xh(x)\) est solution de \((E)\) sur \([0,1]\), continue non identiquement nulle et donc non constante.
On note \(f_{0}\) la fonction précédente et on pose pour \(x\in [0,1]\) : \(f_{1}(2x) = 2f_{0} (x)-2f_{0} ^2 (x)\), ce qui définit \(f_{1}\) sur \([0,2]\), continue, coïncidant avec \(f_{0}\) sur \([0,1]\) et solution de \((E)\) sur \([0,2]\). On définit de même \(f_{2}\) sur \([0,4]\) à partir de \(f_{1}\), etc et on pose enfin pour \(x\geq 0\) \(f(x)=f_n(x)\) où \(n\) est choisi tel que \(x\leq 2^n\). Le résultat ne dépend pas de \(n\) et \(f\) convient. On peut encore prolonger \(f\) à \(\mathbb{R}\) par parité pour obtenir une solution sur \(\mathbb{R}\) continue et non constante.
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