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[ID: 4151] [Date de publication: 21 mars 2024 14:01] [Catégorie(s): Etude théorique de la limite d'une suite de fonction ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Dérivation multiple, ULM-Lyon-Cachan MP\(^*\) 2005
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:01

1. Soit \(P_n\) le polynôme de Lagrange défini par \(P_n(x_i) = f_n(x_i)\) et \(\deg P_n < p\). Les coordonnées de \(P_n\) dans la base de Lagrange forment des suites convergentes donc la suite \((P_n)\) est uniformément convergente sur \([a,b]\). Quant à la suite \((P_n^{(p)})\), c’est la suite nulle. Donc on peut remplacer \(f_n\) par \(f_n - P_n\) dans l’énoncé, ce qui revient à supposer que \(f_n(x_i) = 0\) pour tous \(n\) et \(i\). Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x_i) = 0\) et \(f^{(p)} = g\) : \(f\) existe (prendre une primitive \(p\)-ème arbitraire de \(g\) et lui soustraire un polynôme de Lagrange approprié) et est unique (la différence entre deux solutions est polynomiale de degré \(<p\) et s’annule en \(p\) points distincts). On remplace maintenant \(f_n\) par \(f_n-f\), et on est rammené à montrer que : si \(f_n(x_i) = 0\) pour tous \(n\) et \(i\) et si \((f_n^{(p)})\) converge uniformément vers la fonction nulle, alors \((f_n)\) converge uniformément vers la fonction nulle. Ceci résulte du lemme suivant :

   Il existe une fonction \(\varphi _p\) bornée sur \([a,b]^2\), indépendante de \(n\), telle que \(f_n(x) = \int _{t=a}^b \varphi _p(x,t)f_n^{(p)}(t)\,d t\).

   Démonstration. On écrit la formule de Taylor-intégrale pour \(f_n\) entre \(x\) et \(y\) : \[f_n(y) = f_n(x) + (y-x)f_n'(x) + \dots+ \dfrac{(y-x)^{p-1}}{(p-1)!}f_n^{(p-1)}(x) + \int _{t=x}^y \dfrac{(y-t)^{p-1}}{(p-1)!}f_n^{(p)}(t)\,d t.\] L’intégrale peut être étendue à l’intervalle \([a,b]\) sous la forme \(\int _{t=a}^b u_p(x,y,t)f_n^{(p)}(t)\,d t\) en posant \[u_p(x,y,t) = \begin{cases}(y-t)^{p-1}/(p-1)! &\text{ si $x < t < y$~;}\\ -(y-t)^{p-1}/(p-1)! &\text{si $y < t < x$~;}\\ 0 &\text{sinon.}\\\end{cases}\] En prenant successivement \(y=x_1, \dots, y=x_n\), on obtient un système linéaire en \(f_n(x), \dots, f_n^{(p-1)}(x)\) de la forme : \[\left\{ \begin{array}{ccc} f_n(x) + (x_1-x)f_n'(x) + \dots+ \dfrac{(x_1-x)^{p-1}}{(p-1)!}f_n^{(p-1)}(x) &= &-\int _{t=a}^b u_p(x,x_1,t)f_n^{(p)}(t)\,d t\\ \smallskip\vdots\\ f_n(x) + (x_p-x)f_n'(x) + \dots+ \dfrac{(x_p-x)^{p-1}}{(p-1)!}f_n^{(p-1)}(x) &= &-\int _{t=a}^b u_p(x,x_p,t)f_n^{(p)}(t)\,d t\\\end{array}\right.\] La matrice \(M\) de ce système est la matrice de Vandermonde de \(x_1-x,\dots,x_p-x\), inversible. On en déduit, avec les formules de Cramer, une expression de \(f_n(x)\) à l’aide des intégrales du second membre, de la forme voulue. Le facteur \(\varphi _p\) est borné car le dénominateur est \(\det(M) = \prod _{i<j}(x_j-x_i)\), indépendant de \(x\).