Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) continue et \(2\pi\)-périodique. Pour \(n\in \mathbb{N}^*\), on pose \(F_n(x)=\dfrac{1}{n}\int _{t=0}^n f(x+t)f(t)\,d t\).

  1. Montrer que la suite \((F_n)\) converge vers une fonction \(F\) que l’on précisera.

  2. Nature de la convergence ?

  3. Prouver \(\left\|F\right\|_{\infty }= |F(0)|\).

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[ID: 4149] [Date de publication: 21 mars 2024 14:01] [Catégorie(s): Etude théorique de la limite d'une suite de fonction ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Centrale MP 2002
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:01

  1. Soit \(k=\lfloor n/2\pi \rfloor\).

    On a \(F_n(x) = \dfrac{2k\pi }n\int _{t=0}^{2\pi }f(x+t)f(t)\,d t + \dfrac1n\int _{t=2k\pi }^n f(x+t)f(t)\,d t \to _{n\to \infty }\int _{t=0}^{2\pi }f(x+t)f(t)\,d t\).

  2. uniforme.

  3. Cauchy-Schwarz.

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