Soit \((f_n)\) une suite de fonctions \([a,b]\to [c,d]\) continues, bijectives, strictement croissantes, convergeant simplement vers une fonction \(f\) : \([a,b]\to [c,d]\) elle aussi continue, bijective strictement croissante.

  1. Montrer qu’il y a convergence uniforme (2ème thm de Dini, considérer une subdivision de \([a,b]\)).

  2. Montrer que les fonctions réciproques \(f_n^{-1}\) convergent simplement vers une fonction \(g\) et que \(g = f^{-1}\).

  3. Montrer que \((f_n^{-1})\) converge uniformément vers \(f^{-1}\).

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[ID: 4145] [Date de publication: 21 mars 2024 14:01] [Catégorie(s): Etude théorique de la limite d'une suite de fonction ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Fonctions réciproques (Pugin, MP\(^*\)-2001)
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 14:01

  1. soit \(y\in {[c,d]}\) et \(x_n = f_n^{-1}(y)\). La suite \((x_n)\) admet au plus une valeur d’adhérence, \(x = f^{-1}(y)\).

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