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Étude de convergence
On pose \(f_0(t) = 0\), \(f_{n+1}(t) = \sqrt {t+f_n(t)}\), pour \(t\geq 0\).
Déterminer la limite simple, \(l\), des fonctions \(f_n\).
Y a-t-il convergence uniforme sur \(\mathbb{R}_{+}\) ?
Démontrer que : \(\forall t>0\), \(|f_{n+1}(t)-l (t)|\leq \dfrac{|f_n(t)-l (t)|}{2f_{n+1}(t)}\).
En déduire que la suite \((f_n)\) converge uniformément sur tout intervalle \([a,+\infty [\), avec \(a>0\) (remarquer que \(f_n - l\) est bornée pour \(n\geq 1\)).
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[ID: 4127] [Date de publication: 21 mars 2024 13:52] [Catégorie(s): Etude théorique de la convergence d'une suite de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Étude de convergence
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 13:52
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 13:52
\(l (t) = \dfrac {1+\sqrt {1+4t}}2\) et \(l (0)=0\).
Accroissements finis.
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