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\(f\circ f\circ \dots\circ f\) et convergence simple
Soit \(f:[-1,1]\to [-1,1]\) une fonction continue vérifiant : \(\forall x \neq 0\), \(|f(x)| < |x|\).
On pose \(f_0(x) = x\), puis \(f_{n+1}(x) = f(f_n(x))\). Étudier la convergence simple des \(f_n\).
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[ID: 4125] [Date de publication: 21 mars 2024 13:52] [Catégorie(s): Etude théorique de la convergence d'une suite de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
\(f\circ f\circ \dots\circ
f\) et convergence simple
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 13:52
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 13:52
\((|f_n(x)|)\) décroît donc tend vers \(L\). On extrait une sous suite \((f_{\varphi (n)})\) convergeant vers \(l \Rightarrow |l | = L\).
La sous suite \((f_{\varphi (n)+1})\) converge vers \(f(l ) \Rightarrow |f(l )| = L \Rightarrow L = 0\).
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