Soit \(f:\mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}\) continue, non identiquement nulle, telle que \(f(0) = 0\) et \(f(x)\to _{x\to +\infty }0\).

On pose \(f_n(x) = f(nx)\) et \(g_n(x) = f(x/n)\).

  1. Donner un exemple de fonction \(f\).

  2. Montrer que \(f_n\) et \(g_n\) convergent simplement vers la fonction nulle, et que la convergence n’est pas uniforme sur \(\mathbb{R}_{+}\).

  3. Si \(\int _{t=0}^{+\infty } f(t)\,d t\) converge, chercher \(\lim_{n\to \infty } \int _{t=0}^{+\infty } f_n(t)\,d t\) et \(\lim_{n\to \infty } \int _{t=0}^{+\infty } g_n(t)\,d t\).

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[ID: 4122] [Date de publication: 21 mars 2024 13:52] [Catégorie(s): Etude théorique de la convergence d'une suite de fonctions ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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\(f(nx)\), \(f(x/n)\) et convergence simple
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