Soit \(f_n: \left\{ \begin{array}{ccl} [0,+\infty [ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ ( & \longmapsto & x \end{array} \right. ){\begin{cases} (1- x/n)^n &\text{ si }x \leq n \\ 0 &\text{ si }x > n \end{cases}}.\)

  1. Déterminer la limite simple, \(f\), des fonctions \(f_n\).

  2. Montrer que : \(\forall x\in \mathbb{R}_{+}\), \(0\leq f_n(x)\leq f(x)\).

  3. Montrer que \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) sur tout segment \([0,a]\).

  4. Démontrer que la convergence est uniforme sur \(\mathbb{R}_{+}\).


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[ID: 4115] [Date de publication: 21 mars 2024 13:41] [Catégorie(s): Etude théorique de la convergence d'une suite de fonctions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Étude de convergence
Par Michel Quercia le 21 mars 2024 13:41
  1. Déterminer la limite simple, \(f\), des fonctions \(f_n\). \(e^{-x}\).


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