Barre utilisateur

[ID: 4108] [Date de publication: 16 mars 2024 17:27] [Catégorie(s): Autour de la transformée de Laplace ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Transformée de Laplace, ENS 2014
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:27

L’intégrale définissant \(F\) converge absolument car \(\varphi\) est bornée. On remarque qu’il suffirait en fait que \(\varphi\) soit dominée par une fonction polynomiale et on prendra cela comme hypothèse dans la récurrence ci-dessous. Si \(\varphi\) est de signe constant, \(F\) a ce même signe constant. Si \(\varphi\) change de signe en \(a\in {]0,+\infty [}\) alors \(F'(\lambda )+aF(\lambda ) = \int _{x=0}^{+\infty }\varphi (x)(a-x)e^{-\lambda x}\,\mathrm{ \;d}x\) est de signe constant, donc \(\lambda \mapsto e^{a\lambda }F(\lambda )\) est monotone et change au plus une fois de signe. Pour \(n\) quelconque, on procède par récurrence sur \(n\) : si \(a\) un point de changement de signe pour \(f\) alors \(d (e^{a\lambda }F(\lambda ))/d \lambda\) change au plus \(n-1\) fois de signe donc avec le théorème de Rolle, \(e^{a\lambda }F(\lambda )\) change au plus \(n\) fois de signe.