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Ensea MP 2004
Soit \(\alpha >0\).
Montrer que \(f : x\mapsto e^{-\alpha x}\int _{\theta =0}^\pi \cos(x\sin\theta )\,\mathrm{ \;d}\theta\) est intégrable sur \(\mathbb{R}_{+}\).
Calculer \(I = \int _{x=0}^{+\infty }f(x)\,\mathrm{ \;d}x\). Indication : écrire \(I = \lim_{a\to +\infty }\int _{x=0}^a f(x)\,\mathrm{ \;d}x\).
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[ID: 4104] [Date de publication: 16 mars 2024 17:27] [Catégorie(s): Autour de la transformée de Laplace ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Ensea MP 2004
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:27
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:27
Thm de Fubini : \(\int _{x=0}^{+\infty } f(x)\,\mathrm{ \;d}x = \int _{\theta =0}^\pi \int _{x=0}^{+\infty }\mathbb{R}e(e^{(-\alpha +i\sin\theta )x})\,\mathrm{ \;d}x\,\mathrm{ \;d}\theta = \int _{\theta =0}^\pi \dfrac{\alpha \,\mathrm{ \;d}\theta}{\alpha ^2 +\sin^2 \theta }=\dfrac\pi {\sqrt {1+\alpha ^2 }}\)
(couper en \(\theta =\pi /2\) et poser \(u=\tan\theta\)).
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