Soit \(f:[0,+\infty [\to \mathbb{R}\) continue telle que \(\int _{t=0}^{+\infty }f(t)\,\mathrm{ \;d}t\) converge.

On pose \(\varphi (a) = \int _{t=0}^{+\infty }e^{-at}f(t)\,\mathrm{ \;d}t\).

  1. Montrer que \(\varphi\) est de classe \(\mathcal C ^\infty\) sur \(]0,+\infty [\).

  2. Montrer que \(\varphi\) est continue en \(0\).

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[ID: 4100] [Date de publication: 16 mars 2024 17:27] [Catégorie(s): Autour de la transformée de Laplace ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Transformée de Laplace
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:27

  1. Leibniz.

  2. Soit \(F(x) = \int _{t=x}^{+\infty }f(t)\,\mathrm{ \;d}t\). On a \(\varphi (a) = F(0) -a\int _{t=0}^{+\infty } e^{-at}F(t)\,\mathrm{ \;d}t = F(0) - \int _{u=0}^{+\infty }e^{-u}F(u/a)\,d u\).

    Comme \(F\) est continue et \(F(x)\to _{x\to +\infty }0\), la dernière intégrale tend vers zéro quand \(a\to 0_{+}\) par convergence dominée.

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