Soit \(f\) : \(x\mapsto \int _{t=0}^{+\infty }\dfrac{\mathrm{ \;d}t}{t^{x+1}+t+1}\). Déterminer son domaine de définition ; étudier sa continuité et sa monotonie. Calculer \(\int _{t=1}^{+\infty }\dfrac{\mathrm{ \;d}t }{t^{x+1}+t}\) et en déduire des équivalents et les limites de \(f\) en \(0\) et en \(+\infty\).


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[ID: 4097] [Date de publication: 16 mars 2024 17:26] [Catégorie(s): Fonction $\Gamma$ d'Euler ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Centrale MP 2002
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:26

\(D_f = {]0,+\infty [}\). Il y a domination locale, donc \(f\) est continue.

De même, pour \(x>0\) on a \(f'(x) = \int _{t=0}^{+\infty }\dfrac{-\ln(t)t^{x+1}}{(t^{x+1}+t+1)^2 }\,\mathrm{ \;d}t\).

En coupant l’intégrale en \(1\) et en posant \(u=1/t\) dans l’intégrale sur \([1,+\infty [\) il vient :

\(f'(x) = \int _{t=0}^1 \ln(t)t^{x+1}\Bigl(\dfrac1{(t+t^{x+1}+t^{x+2})^2 } - \dfrac1{(t^{x+1}+t+1)^2 }\Bigr)\,\mathrm{ \;d}t < 0\) car \(\ln(t)<0\) et \(t^{x+2}<1\) si \(t\in {]0,1[}\). Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]0,+\infty [\). \(\int _{t=1}^{+\infty }\dfrac{\mathrm{ \;d}t }{t^{x+1}+t} = \int _{t=1}^{+\infty }\sum_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{t^{(k+1)x+1}}\,\mathrm{ \;d}t =\) (domination du reste avec le CSA) \(= \sum_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{(k+1)x}= \dfrac{\ln 2}x\).

\(\Bigl|f(x)-\int _{t=1}^{+\infty }\dfrac{1}{t^{x+1}+t}\Bigr| =\int _{t=0}^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}t}{t^{x+1}+t+1} + \int _{t=1}^{+\infty }\dfrac{\mathrm{ \;d}t}{(t^{x+1}+t)(t^{x+1}+t+1)} \leq \int _{t=0}^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}t}{t+1} + \int _{t=1}^{+\infty }\dfrac{\mathrm{ \;d}t}{t(t+1)} = 2\ln 2\) donc \(f(x) = \dfrac{\ln 2}x + O_{x\to 0_{+} }(1)\).

Pour \(x\to +\infty\), on a avec le TCM séparément sur \([0,1]\) et sur \([1,+\infty [\) : \(f(x)\to _{x\to +\infty }\int _{t=0}^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}t}{t+1} = \ln 2\).


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