1. Développer, pour tout \(x>0\), \(s(x) = \int _{t=0}^{+\infty }\dfrac{\sin t}{e^{xt}-1}\,\mathrm{ \;d}t\) en série de fractions rationnelles.

  2. Montrer qu’en \(0_{+}\), \(s(x)\) est équivalente à \(\dfrac\pi {2x}\).


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[ID: 4092] [Date de publication: 16 mars 2024 17:25] [Catégorie(s): Intégration terme à terme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Centrale MP 2001
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:25
  1. \(s(x) = \int _{t=0}^{+\infty } \sum_{k=1}^\infty \sin(t)e^{-kxt}\,\mathrm{ \;d}t\).

    On a \(|\sin(t)e^{-kxt}| \leq te^{-kxt}\) et \(\int _{t=0}^{+\infty }te^{-kxt}\,\mathrm{ \;d}t = \dfrac 1{k^2 }\) donc \(\sum_{k=1}^{\infty }\int _{t=0}^{+\infty }|\sin(t)e^{-kxt}|\,\mathrm{ \;d}t\) converge ce qui légitime l’interversion intégrale-série. D’où \(s(x) = \sum_{k=1}^\infty \int _{t=0}^{+\infty }\sin(t)e^{-kxt}\,\mathrm{ \;d}t = \sum_{k=1}^{\infty }\dfrac1{k^2 x^2 +1}\).

  2. Sachant (?) que \(\int _{t=0}^{+\infty }\dfrac{\sin t}t\,\mathrm{ \;d}t = \dfrac\pi 2\), on obtient :

    \[\begin{aligned} xs(x)-\dfrac\pi 2 &= \int _{t=0}^{+\infty }\Bigl(\dfrac{x\sin t}{e^{xt}-1}-\dfrac{\sin t}{t}\Bigr)\,\mathrm{ \;d}t\\ &= \int _{u=0}^{+\infty }\Bigl(\dfrac{1}{e^{u}-1}-\dfrac{1}{u}\Bigr)\sin\Bigl(\dfrac ux\Bigr)\,d u\\ &= -x\Bigr[\underbrace{\Bigl(\dfrac{1}{e^{u}-1}-\dfrac{1}{u}\Bigr)}_{\to _{u\to 0_{+} }-{\textstyle\frac12}}\cos\Bigl(\dfrac ux\Bigr)\Bigr]_{u=0}^{+\infty } +x\int _{u=0}^{+\infty }\underbrace{\Bigl(\dfrac{-e^u}{(e^{u}-1)^2 }+\dfrac{1}{u^2 }\Bigr)}_{\to _{u\to 0_{+} }{\textstyle\frac1{12}}}\cos\Bigl(\dfrac ux\Bigr)\,d u\\ &= x(\text{quantité bornée})\to _{x\to 0_{+} }0. \end{aligned}\]


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